CONCEPTOS

GLOSARIO

• Pruebas del proceso: eventos que disparan transiciones de un estado a otro.  En muchas aplicaciones, periodos de tiempo sucesivos.
• Probabilidad de transición: dado que el sistema esta en estado idurante un periodo, la probabilidad de transición p_ij es la probabilidad de que el sistema este en el estado j durante el siguiente periodo.
• Probabilidad de estado: es la probabilidad de que el sistema este en cualquier estado particular.
• Probabilidad de estado estable: La probabilidad de que el sistema este en cualquier estado particular después de un numero elevado de transiciones.  Una vez  alcanzado este estado la probabilidad de estado no cambia de un periodo a otro.
• Estado de absorción: se da cuando la probabilidad de que ocurra una transición de este estado es cero.  Por lo que una vez que el sistema a hecho una transición a un estado de absorción, quedará ahí.
• Matriz fundamental: Matriz necesaria para el cómputo de probabilidades asociadas con el estado de absorción de un proceso de Markov.

CONCEPTO DE CADENA DE MARKOV:

Las cadenas de Markov son una herramientas para analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos estocásticos, esto es, procesos que evolucionan de forma no deterministicas a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados.

Una cadena de Markov, por lo tanto, representa un  sistema de varia su estado a lo largo del tiempo, siendo cada cambio una transición del sistema. Dichos cambios no están predeterminado, aunque si lo esta la probabilidad del próximo estado en función de los estados anteriores, probabilidad que es constante a lo largo del tiempo (sistema homogéneo en el tiempo). Eventualmente, en una transición, el nuevo estado puede ser el mismo que el anterior y es posible que exista la posibilidad de influir en las probabilidades de transición actuando adecuadamente sobre el sistema (decisión).

Fuente: http://www.edicionsupc.es/ftppublic/pdfmostra/OE03502M.pdf

MATRIZ DE TRANSICION:

Una matriz de transición para una cadena de Markov de n estado es una matriz de n X n con todos los registros no negativos y con la propiedad adicional de que la suma de los registros de cada columna (o fila) es 1.

Por ejemplo: las siguientes son matrices de transición.

El comportamiento de cambo de marca de los consumidores h sido modelado como una cadena de Markov, para ayudar a desarrollar las estrategias de mercadotecnia. A manera de ejemplo, obsérvese el siguiente comportamiento de cambio de marca descrito en la siguiente tabla para una muestra de 250consumidores de un producto.

Número de consumidores que cambian la marca i en la semana 6 j en la semana 7.

El primer renglón indica que, de 80 personas que compraron la marca 1 en la semana 6, 72 volvieron a adquirirla en la semana 7, 4 prefirieron la marca 2 y 4 la marca 3. Sin embargo, nótese que 12 personas cambiaron la marca 2 por la marca 1 y 2 personas cambiaron la marca 3 por la marca 1. A si pues, para la marca 1, la perdida de 8 clientes se compensó con creces por la conquista de 14 clientes. Entre la sexta y la séptima semanas, la marca 1 aumentó su participación en el mercado de 32%(80/250) a  34,4% (86/250).

La matriz de probabilidades de transición para la tabla de contingencia es P:

La matriz P es una estimación de la matriz verdadera, pues solamente representa el comportamiento de una muestra de 250 consumidores, durante a un periodo de dos semanas. Los elementos P11,  P22   y  P33  de la matriz P son medidas del “poder de retención” de las tres marcas; los restantes elementos Pij reflejan el “poder de atracción” de la marca j, suponiendo que la compra anterior haya sido a favor de la marca i. Los elementos de cada fila reflejan la probabilidad de que una marca retenga a sus clientes o los pierda frente a otras marcas. Los elementos de cada columna resumen la probabilidad de que una marca retenga a sus clientes o conquiste a otros a costa de cada marca de la competencia.

Suponiendo que la participación en los mercados que tienen la tres marcas del ejemplo son 30%, 38% y 32&, respectivamente, durante la séptima semana. Si la matriz de transición P (maestral), se considera una buena estimación de la verdadera matriz de transición (poblacional), es posible predecir las participaciones de mercado esperada en la octava semana por medio de la multiplicación de matrices. Así entonces:

Las participaciones en el mercado predichas durante la octava semana son  32,08%, 37,64% y 30,28%, respectivamente para la tres marcas.

Generalizando, podemos decir que si un proceso de Markov donde el sistema puede encontrarse en cualquiera de m estados posibles, las probabilidades pueden escribirse por medio del vector X=(x1   x2……..xm) donde xj representa probabilidad de que el sistema se halle en el estado j. En los estados actuales de un proceso de Markov Xk, los estados después del siguiente experimento (transición) pueden calcularse mediante la multiplicación con de matrices.

XK+1   = X K  P

Con base en la ecuación anterior se puede afirmar que:

Generalizando:

Ya que en este caso X0 corresponde al vector X7.

Fuente:

• http://www.ciencia-ahora.cl/Revista20/15MatricesTransicion.pdf
• Fraleigh, John. Algebra Lineal. Editorial Addison Wesley.1989.

ESTADOS ABSORBENTES

Se trata de estados que constituyen por si mismos una sola clase final, puesto que la única transición posible es ir otra vez al mismo (ya que las probabilidades de pasar a cualquier de los otros son cero). Matemáticamente significa que la fila correspondiente de la matriz estará toda a ceros excepto un 1 en la diagonal principal por lo tanto se le denomina como matriz no regular; el significado de este tipo de situaciones suele ser el de un sistema que ha llegado a una situación de degradación, que ya no puede evolucionar mas, etc.

En otras palabras generalizando:

Una cadena de markov absorbente contiene p estados transitorios y q estados absorbentes. Con base a esto la matriz se representa así:

Donde R es una submatriz

Q corresponde al complemento de R

Fuente:

• ANDERSON David R. Métodos cuantitativos para los negocios. Editorial Thomson. año 2004